缩放（以原点为中心）#

可以用矩阵表示为：

对于不同比例的缩放：

同样的可以推出翻转：

对于这种切变：

如果我们有一个点P(x, y)，应用上面的切变变换后，它的y坐标始终不变，只有x在水平方向上发生变化；而且当y=0时，水平方向上的变化为0，y=1时，水平方向上的变化为a。我们可以取(0,1) -> (a,1)这一点的变换来推出矩阵：

你可以试试其他点，都符合这个规律。

其中矩阵的第一行表示x轴方向上的变换，第二行表示y轴方向上的变换。切变矩阵中的元素s表示在x轴方向上的切变比例。当s为正值时，表示向右上方切变；当s为负值时，表示向左上方切变。

接下来是重头戏：旋转（以原点为中心）#

我们还是取特殊点：(1,0)、(0,1)的变化来推导 对于(1,0)点，它在旋转 θ 角后变成了(cosθ,sinθ)：

写成矩阵就是：

而对于(0,1)点，它在旋转 θ 角后变成了(-sinθ,cosθ)：

写成矩阵就是：

把他们合并起来：

所以旋转矩阵就是：

Tips#

如果我们想要绕这个点旋转$-\theta$角，按照前面的方法得出的矩阵就是：

$$R_{-\theta} = \begin{bmatrix} cosθ & sinθ \\ -sinθ & cosθ \end{bmatrix}$$

可以看到$R_{-\theta} = {R_\theta}^{T}$，同时我们知道一个变换的逆变换就是对应矩阵的逆，于是可以得出：

$$R_{-\theta} = {R_\theta}^{T} = {R_\theta}^{-1}$$

这个矩阵的逆等于它的转置，所以它是一个正交矩阵。

有旋转就有平移：#

看起来很容易不是吗？ 但是如果一个物体既会旋转又要平移，该怎么表示？

平移变换无法用矩阵相乘的形式表示出来，所以我们不得不采用上面这种方式来表示它。

但是这太不优雅了！而且，我们也不希望平移成为一种特例，这样对计算机和人来说，表示和计算起来都十分麻烦。有没有一种统一的方式，能够让我们来表示所有的转换？ 让我们转变思路，进行“升维打击”：

齐次坐标系#

齐次坐标系（Homogeneous Coordinates）是一种在计算机图形学和计算机视觉中常用的表示点、向量和变换的方法。通过引入一个额外的维度，我们能够让点和向量可以用更简洁的方式表示，并且能够方便地进行坐标变换。

对二维坐标系来说，一个点通常由其 x、y 表示。但是，在齐次坐标系中，我们增加一个第三维度：

• 对于二维点，我们将其表示为

• 对于二维向量，我们将其表示为

为什么要这样做？ 想一想点和向量的运算：

在齐次坐标系下，

说了这么多，这次我们回头再看之前的变换，就可以用一个统一的线性变换表示出来：

这样二维空间下的坐标变换就可以用一种统一的方式来表示了

Tips#

• 矩阵没有交换律：同时需要平移和线性变换的时候，需要先线性变换再平移
• 仿射变换=线性变换+平移

顺序很重要#

先旋转再平移和先平移再旋转显然是不同的，变换矩阵是从右向左逐个应用的（下图为先旋转再平移）：

前面我们已经讲过了绕原点旋转，如果我们想绕任一点旋转应该怎么做？

1. 将旋转点平移到原点
2. 绕原点旋转
3. 平移回去

表示#

与二维同理，只不过多了一个维度：

齐次坐标系也多了一维（像二维变换一样，先线性变换再平移）：

旋转#

到了旋转这里，比二维要稍微多一些东西。绕三维空间的某一个轴旋转 $\alpha$ 角，写成旋转矩阵就像下图：

绕 $x$ 和 $z$ 轴旋转都很好理解，但是为什么绕 $y$ 轴旋转成了转置呢？

按照右手螺旋定则绕 x y z 轴进行旋转：

$X \times Y = Z$，$Y \times Z = X$ ， 然而 $X \times Z = - Y$ ，所以在 $XoZ$ 坐标系下旋转是反的，你也可以看作绕y轴的旋转矩阵左上角的3x3矩阵是循环移位后得到的。

欧拉角#

我们前面讨论的主要是绕某个固定轴的旋转，那么如果我们想要实现绕任意角度和任意轴的旋转，该如何处理呢？在这种情况下，我们可以引入一种更为灵活的旋转描述方法：欧拉角。欧拉角通过一系列顺序的轴旋转，能够表示任意方向的旋转，为我们提供了一种简单且直观的方式来处理复杂的旋转变换。

在欧拉角的表示中，常见的一种定义方式是使用 Roll（滚转） 、 Pitch（俯仰） 和 Yaw（偏航） 三个角度来描述物体的旋转。这三个角度分别对应于围绕物体自身的三个主要轴的旋转。

什么是视图变换#

如果现在我们想拍一张照片，我们至少要做三件事，这对应着视图变换的三个部分：

• 找一个风景不错的地方，让模特摆好姿势（模型变换 Model transformation）
• 找一个好角度并放好相机（视图变化 View transformation）
• 按下快门（投影变换 Projection transformation）

如何定义相机#

要做出视图变换之前，我们还得先知道相机的位姿。我们可以用三个量定义相机：

• position（相机在哪）
• look-at direction（朝哪个方向）
• up direction（向上的方向：相机的歪斜程度）

如果相机和物体做相同的运动，那么拍出来的图片肯定是完全一样的：

这样的话我们可以将相机放在一个固定位置上，方便后续的变换。

我们把相机原点移动到坐标原点处，令Y为向上方向，让相机视线朝向-Z，并随摄像机变换其他的对象。

将任意相机移到原点位置#

相机的变换矩阵可以写成 $M_{view}=R_{view}\cdot T_{view}$

我们先将相机平移到坐标原点：

将相机从一个随机的位姿旋转到坐标轴上（向上方向到Y，相机视线朝向-Z）显然是十分困难的；不过，我们可以逆向思维，先求出从原点到相机的旋转矩阵，再求逆就可以得到我们想要的结果：